SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama : Evan rafif saputra

Kelas : 10 IPS 1

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3:

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
                    -4x² = x² + 4x + 3 
x² + 4x² + 4x + 3 = 0
        5x² + 4x + 3 = 0

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:
5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3
D = b² – 4ac
D = (4)² – 4(5)(3)
D = 16 – 60
D = -44
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong karena D < 1.

4.Diketahui persamaan y = -3x² dan y = x² + 3x + 2. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara tertentu. Berikut cara menyelesaikan contoh soal SPKK ini yaitu:

Bagian kuadrat pertama y = -3x² disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = x² + 3x + 2. Maka hasilnya:
                      -3x² = x² + 3x + 2
3x² + x² + 3x + 2 = 0
          4x² + 3x + 2 = 0

Cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat kuadrat selanjutnya menggunakan konsep diskriminan karena akar akar real tidak dimiliki oleh persamaan kuadrat di atas. Untuk itu diskriminannya akan memiliki nilai bilangan negatif, maka hasilnya:
4x² + 3x + 2 = 0, dimana a = 4, b = 3 dan c = 2
D = b² – 4ac
D = (3)² – 4(4)(2)
D = 9 – 32
D = -23
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong

Daftar pustaka:

Evan rafif saputa 10 IPS 1,Tangerang 21-09-2021 

Sumber:

http://www.antotunggal.com/2021/02/contoh-soal-sppk-dan-jawaban.html#

https://rpp.co.id/soal-sistem-persamaan-kuadrat-kuadrat-spkk/

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama : Evan rafif saputra

kelas : 10 IPS 1

Sebelum membahas sistem pertidaksamaan, akan dibahas terlebih dahulu secara tersendiri pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real.
Jawab

Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan.
Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus:

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut:

Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi dua
Secara umum bentuk fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dan grafiknya berbentuk parabola. Untuk menggambar grafiknya, diperlukan langkah-langkah tersendiri, yakni :
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x , syaratnya y = 0
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0
(3) Menentukan titik maksimum/minimum fungsi, yaitu

(4) Menggambar grafik fungsi

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

04. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12
Jawab

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = x2 – 8x + 12
y = (0)2 – 8(0) + 12
y = 12 Titik potongnya (0, 12)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

(4) Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)


Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q
Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

Pada sistem pertidaksamaan linier dan kuadrat, kedua pertidaksamaan tersebut (linier dan kuadrat) dipadukan dalam satu sistem koordinat Cartesius. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
08. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8 dalam tata koordinat Cartesius,

Jawab
Pertama akan digambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12

Selanjutnya digambar juga daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 2x + 8, dengan langkah langkah :
Menentukan tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
–x2 + 2x + 8 = 0
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = –2 dan x = 4 . Titik potongnya (–2 0) dan (4, 0)

Menentukan tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = –x2 + 2x + 8
y = –(0)2 + 2(0) + 8
y = 8 . Titik potongnya (0, 8)

Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 2x + 8

Menggambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Irisan dari kedua daerah penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8
Gambar daerahnya adalah sebagai berikut:

Contoh Soal #1

Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, maka tentukanlah batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.

Jawab

■ Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut adalah x cm dan y cm. Maka keliling persegi panjang adalah K = 2(x + y) = 20

⇔ 2(x + y) = 20

⇔ x + y = 10

⇔ y = 10 – x

Luas persegi panjang adalah adalah L = x . y

⇔ L = x(10 – x)

⇔ L = 10x – x2

■ Dari soal telah ditentukan bahwa luas persegi panjang tidak kurang dari 21 cm2, hal ini berarti L ≥ 21 sehingga

⇔ 10x – x2 ≥ 21

⇔ 10x – x2 – 21 ≥ 0 (kita ubah –x2 menjadi x2 dengan mengali kedua ruas dengan -1)

⇔ x2 – 10x + 21 ≤ 0 (jika kedua ruas dikali dengan bilangan negatif, maka tanda berubah)

⇔ (x – 3)(x – 7) ≤ 0

Dari sini kita peroleh x = 3 dan x = 7

■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 10x + 21 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.

Tabel Hasil Uji Interval

Nilai Uji	Nilai x2 – 10x + 21 = 0	Tanda Interval
x = 0 (x < 3)	(0)2 – 10(0) + 21 = +21	+ atau > 0
x = 4 (3 < x < 7)	(4)2 – 10(4) + 21 = –3	− atau < 0
x = 8 (x > 7)	(8)2 – 10(8) + 21 = +5	+ atau > 0

■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 10x + 21 ≤ 0 adalah 3 ≤ x ≤ 7.

■ Dengan demikian, batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah mulai dari 3 cm sampai dengan 7 cm.

Contoh Soal #2

Hasil produksi suatu barang dinyatakan dengan persamaan P(x) = –x2 +28x – 60 unit barang untuk bahan baku yang diperlukan. Apabila hasil produksi (P) mencapai lebih dari 100 unit, maka banyaknya bahan baku x yang diperlukan adalah…

Jawab

■ Hasil produksi mencapai lebih dari 100 unit berarti P(x) > 100 sehingga

⇔ –x2 +28x – 60 > 100

⇔ –x2 +28x – 60 – 100 > 0

⇔ –x2 +28x – 160 > 0

⇔ x2 – 28x + 160 < 0

⇔ (x – 20)(x – 8) < 0

Dari sini kita peroleh x = 8 dan x = 20

■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 28x + 160 < 0 yaitu sebagai berikut.

Tabel Hasil Uji Interval

Nilai Uji	Nilai x2 – 28x + 160 = 0	Tanda Interval
x = 0 (x < 8)	(0)2 – 28(0) + 160 = +160	+ atau > 0
x = 9 (8 < x < 20)	(9)2 – 28(9) + 160 = –11	− atau < 0
x = 21 (x > 20)	(21)2 – 28(21) + 160 = +43	+ atau > 0

■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 28x + 160 < 0 adalah 8 < x < 20.

■ Dengan demikian, banyaknya bahan baku yang dibutuhkan adalah lebih dari 8 unit dan kurang dari 20 unit.

Contoh Soal #3

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. ketinggian peluru yang dicapai (dalam meter) dinyatakan sebagai h(t) = 30t – t2. Berapa lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter?

Jawab

■ Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 meter, berarti h(t) ≥ 221 sehingga

⇔ 30t – t2 ≥ 221

⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0

⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0

⇔ (t – 13)(t – 17) ≤ 0

Sampai sini kita dapatkan t = 13 dan t = 17

■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan t2 – 30t + 221 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.

Tabel Hasil Uji Interval

Nilai Uji	Nilai t2 – 30t + 221 = 0	Tanda Interval
t = 0 (t < 13)	(0)2 – 30(0) + 221 = +221	+ atau > 0
t = 14 (13 < t < 17)	(14)2 – 30(14) + 221 = –3	− atau < 0
t = 18 (x >17)	(18)2 – 30(18) + 221 = +5	+ atau > 0

■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan t2 – 30t + 221 ≤ 0 adalah 13 ≤ t ≤ 17.

■ Dengan demikian, peluru akan berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter yaitu dari detik ke-13 sampai dengan detik ke-17 atau dalam selang waktu (17 – 13) detik = 4 detik.

Contoh Soal #4

Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolam renang paling sedikit 50 m2, maka tentukanlah interval panjang kolam renang (dalam meter) yang memenuhi syarat tersebut.

Jawab

■ Misalkan panjang dan lebar kolam renang tersebut adalah x cm dan y cm. Maka keliling kolam renang adalah K = 2(x + y) = 30

⇔ 2(x + y) = 30

⇔ x + y = 15

⇔ y = 15 – x

Luas kolam renang adalah adalah L = x . y

⇔ L = x(15 – x)

⇔ L = 15x – x2

■ Dari soal telah ditentukan bahwa luas kolam renang paling sedikit 50 m2, hal ini berarti L ≥ 50 sehingga

⇔ 15x – x2 ≥ 50

⇔ 15x – x2 – 50 ≥ 0

⇔ x2 – 15x + 50 ≤ 0

⇔ (x – 5)(x – 10) ≤ 0

Sampai sini kita peroleh x = 5 dan x = 10

■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 15x + 50 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.

Tabel Hasil Uji Interval

Nilai Uji	Nilai x2 – 15x + 50 = 0	Tanda Interval
x = 0 (x < 5)	(0)2 – 15(0) + 50 = +50	+ atau > 0
x = 6 (5 < x < 10)	(6)2 – 15(6) + 50 = –4	− atau < 0
x = 11 (x > 10)	(11)2 – 15(11) + 50 = +6	+ atau > 0

■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 15x + 50 ≤ 0 adalah 5 ≤ x ≤ 10.

■ Dengan demikian, interval atau batas panjang kolam renang adalah mulai dari 5 meter hingga 10 meter.

Sumber :

Evan rafif saputra,10 IPS 1 ,14-09-21 

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/09/penerapan-pertidaksamaan-kuadrat.html

https://www.materimatematika.com/2017/11/sistem-pertidaksamaan-linier-dan-kuadrat.html