SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama : Evan rafif saputra

Kelas : 10 IPS 1

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3:

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
                    -4x² = x² + 4x + 3 
x² + 4x² + 4x + 3 = 0
        5x² + 4x + 3 = 0

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:
5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3
D = b² – 4ac
D = (4)² – 4(5)(3)
D = 16 – 60
D = -44
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong karena D < 1.

4.Diketahui persamaan y = -3x² dan y = x² + 3x + 2. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara tertentu. Berikut cara menyelesaikan contoh soal SPKK ini yaitu:

Bagian kuadrat pertama y = -3x² disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = x² + 3x + 2. Maka hasilnya:
                      -3x² = x² + 3x + 2
3x² + x² + 3x + 2 = 0
          4x² + 3x + 2 = 0

Cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat kuadrat selanjutnya menggunakan konsep diskriminan karena akar akar real tidak dimiliki oleh persamaan kuadrat di atas. Untuk itu diskriminannya akan memiliki nilai bilangan negatif, maka hasilnya:
4x² + 3x + 2 = 0, dimana a = 4, b = 3 dan c = 2
D = b² – 4ac
D = (3)² – 4(4)(2)
D = 9 – 32
D = -23
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong

Daftar pustaka:

Evan rafif saputa 10 IPS 1,Tangerang 21-09-2021 

Sumber:

http://www.antotunggal.com/2021/02/contoh-soal-sppk-dan-jawaban.html#

https://rpp.co.id/soal-sistem-persamaan-kuadrat-kuadrat-spkk/

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html