Nama : Evan rafif saputra
Kelas : 10 IPS 1
absen : 11
Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.
- SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.
- SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.
SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit
Secara umum, bentuk baku dari SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dapat ditulis sebagai berikut.
Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.
Untuk memahami cara menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat, simaklah SPLK berikut ini.
y = x + 2 ………. bagian linear
y = x2 …………… bagian kuadrat
Subtitusikan bagian linier y = x + 2 ke bagian kuadrat y = x2, sehingga kita peroleh:
⇒ x + 2 = x2
⇒ x2 – x – 2 = 0
Kita peroleh persamaan kuadrat dalam x. Dengan cara pemfaktoran, kita peroleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒ (x + 1)(x – 2) = 0
⇒ x = −1 atau x = 2
Kemudian subtitusikan x = −1 atau x = 2 ke persamaan y = x + 2 atau y = x2 sehingga kita peroleh:
⇒ y = −1 + 2
⇒ y = 1
dan
⇒ y = 2 + 2
⇒ y = 4
atau
⇒ y = (−1)2
⇒ y = 1
dan
⇒ y = (2)2
⇒ y = 4
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(−1, 1), (2, 4)}.
Secara geometri, anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK di atas dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y = x + 2 dengan parabola y = x2. Coba kalian perhatikan gambar di bawah ini.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari SPLK
y = ax + b
y = px2 + qx + r
dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah pertama:
Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, sehingga diperoleh:
⇒ ax + b = px2 + qx + r
⇒ px2 + qx – ax + r – b = 0
⇒ px2 + x(q – a) + (r – b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x.
Langkah kedua:
Nilai-nilai x pada langkah pertama (jika ada) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b atau y = px2 + qx + r. Namun untuk efisiensi waktu, cukup subtitusikan ke persamaan linearnya saja.
Kita ingat bahwa nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat px2 + x(q – a) + (r – b) = 0 disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyaknya nilai x (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan D = (q – a)2 – 4p(r – b). Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK
y = ax + b
y = px2 + qx + r
ditentukan oleh nilai diskriminan D = (q – a)2 – 4p(r – b) sebagai berikut.
■ Jika D > 0, maka SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
■ Jika D = 0, maka SPLK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
■ Jika D < 0, maka SPLK tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong dan ditulis ∅.
Anggota-anggota dari himpuna penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px2 + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan oleh nilai diskriminan D = (q – a)2 – 4p(r – b) sebagai berikut.
■ Jika D > 0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
■ Jika D = 0, maka garis memotong parabola tepat di sebuah titik. Dalam hal demikian, dikatakan garis menyinggung parabola.
■ Jika D < 0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.
Pada gambar berikut ini diperlihatkan tiga kemungkinan kedudukan garis y = ax + b terhadap parabola y = px2 + qx + r.
Contoh Soal
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, kemudian buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri).
a. y = x – 1 dan y = x2 – 3x + 2
b. y = x – 3 dan y = x2 – x – 2
c. y = −2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3
Jawab:
a. Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, sehingga diperoleh:
⇒ x – 1 = x2 – 3x + 2
⇒ x2 – 3x – x + 2 + 1 = 0
⇒ x2 – 4x + 3 = 0
⇒ (x – 1)(x – 3) = 0
⇒ x = 1 atau x = 3
Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1.
Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 → (1, 0)
Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 → (3, 2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0), (3,2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – 3x + 2 di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, 2). Perhatikan gambar di bawah ini.
b. Subtitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ x – 3 = x2 – x – 2
⇒ x2 – x – x – 2 + 3 = 0
⇒ x2 – 2x + 1 = 0
⇒ (x – 1)2 = 0
⇒ x = 1
Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x – 3 sehingga didapatkan
⇒ y = 1 – 3 = −2 → (1, −2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, −2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 3 menyinggung parabola y = x2 – x – 2 di titik (1, −2). Perhatikan gambar di bawah ini.
c. Subtitusikan y = −2x + 1 ke y = x2 – 4x + 3, diperoleh
⇒ −2x + 1 = x2 – 4x + 3
⇒ x2 – 4x + 2x + 3 – 1 = 0
⇒ x2 – 2x + 2 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, karena D = (−2)2 – 4(1)(2) = −4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis ∅. Tafsiran geometrinya, garis y = −2x + 1 tidak memotong maupun menyinggung parabola y = x2 – 4x + 3. Perhatikan gambar berikut.
SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0. Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.
i) x2 + y2 + 8 = 0
ii) x2 + y2 + 2x – y = 0
iii) x2 + y2 – 3x + 4y + 1 = 0
iv) 2x2 – xy + y2 + 3x + y – 4 = 0
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
SPLK dengan bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:
Lalu bagaimana cara menetukan himpunan penyelesaian dari dua kemungkina SPLK implisit tersebut? Berikut penjelsannya, silahkan kalian simak baik-baik.
SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai-nilai yang didapat disubtitusikan ke persamaan linear atau kuadrat. Namun untuk efisiensi waktu, cukup subtitusikan ke persamaan linear saja.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0 ……….bagian linear
x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x2 – x – 12 = 0
⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.
● untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ −3 + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
● untuk x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3 = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.
SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Cara menentukan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan, sma dengan yang tidak dapat difaktorkan. Namun, kita akan menggunakan cara lain. Untuk itu, silahkan kalian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini.
x – y = 3 ……………………… bagian linear
x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0 …. bagian kuadrat
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
⇒ x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0
⇒ (x – 2y)2 – 25 = 0
⇒ (x – 2y + 5)( x – 2y – 5) = 0
⇒ x – 2y + 5 = 0 atau x – 2y – 5 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.
Daftar puastaka :
Evan rafif saputra 10 IPS 1 07-09-2021 tangerang Sistem persamaan Linear dan kuadarat beserta contohnya
Sumber:
https://mathcyber1997.com/sistem-linear-kuadrat/#google_vignette
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLK-berbentuk-eksplisit.html
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLK-berbentuk-implisit.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar