Identitas trigonometri

Nama : Evan rafif saputra (11)

Kelas : 10 IPS 1

Rumus Identitas Trigonometri

A. PENGERTIAN
Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstanta anggota domain fungsinya. Domainnya sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang memuat fungsi tangens, kotangens, sekans dan kosekans domain himpunan bilangan real ini sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu maka dalam hal tersebut, meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut merupakan starat yang perlu diperhitungkan.

rumus identitas trigonometri

Kebenaran suatu relasi atau suatu kalimat terbuka sebagai suatu identitas perlu diverifikasi atau dibuktikan berdasar aturan atau rumus dasar yang mendahuluinya.

B. MEMBUKTIKAN KEBENARAN IDENTITAS
Ada tiga pilihan pembuktian identitas, yaitu: Menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan kebenarannya.

(i)   ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan. 

ii)  Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri.

(iii) Ruas kiri diubah bentuknya menjadi suatu bentuk mlain, ruas kanan diubah menjadi bentuk lain, sehingga kedua bentuk akhir itu sama.

Dua yang pertama merupakan pilihan utama. Secara umum, yang diubah adalah biasanya adalah bentuk yang paling kompleks dibuktikan sama dengan bentuk yang lebih sederhana.

Keberhasilan pembuktian kebenaran suatu identitas memerlukan:
(i)   telah dikuasainya relasi, aturan atau rumus-rumus dasar trigonometri dan aljabar.
(ii)  Telah dikuasainya proses pemfaktoran, penyederhanaan, operasi pada bentuk pecahan dan operasi hitung lainnya serta operasi dasar aljabar.
(iii) Pelatihan yang cukup.

Dalam proses pembuktian, selain yang disebutkan pada dua butir pertama di atas, yang sangat penting diperhatikan ialah bahwa (1) perubahan-perubahan bentuk yang dilakukan berorientasi pada tujuan (ruas lain yang dituju). Maksudnya, bentuk-bentuk yang dituju biasanya adalah bentuk atau derajat yang lebih sederhana dan dapat dikondisikan atau “dipaksakan” adanya, dengan penyesuaian bentuk-bentuk lainnya dan (2) selain menggunakan hubungan antara sekans dan tangens, kosekans dan kotangens, fungsi-fungsi tangens, kotangens, sekans, dan kosekans juga dapat diubah ke fungsi sinus dan atau kosinus.

C. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

I.  RELASI/RUMUS DASAR FUNGSI TRIGONOMETRI
1. RELASI KEBALIKAN RELASI PEMBAGIAN  RELASI “PYTHAGORAS”
2. FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT YANG BERELASI

Kofungsi:          sin(90 – a) = cos a              cos(90 – a) = sin a

                          Tan(90 – a) = cot a              cot(90 – a) = tan a

 Sec(90 – a) = csc a              csc(90 – a) = sec a

sin(180 – a)o = sin ao                            sin(180 + a)o = -sin ao

cos(180 – a)o = -cos ao                         cos(180 + a)o = -cos ao

tan(180 – a)o = -tan ao                         tan(180 – a)o = tan ao

sin(360 – a)o = -sin ao                          sin(-ao) = -sin ao

cos(360 – a)o = cos ao                          cos(-ao) = cos ao

tan(360 – a)o = -tan ao                         tan(-ao) = -tan ao

II. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

1. RUMUS JUMLAH  DAN RUMUS SELISIH
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

2. RUMUS SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos b
cos 2a = cos2a – sin2a
            = 1 – 2 sin2a        
            = 2 cos2a – 1

III. RUMUS JUMLAH, SELISIH, DAN HASIL KALI FUNGSI SINUS/KOSINUS

1. HASIL KALI SINUS DAN KOSINUS             2. JUMLAH DAN SELIEIH SUDUT
sin a cos b = 1/2(sin(a + b) + sin(a – b))               sin A + sin B = 2 sin 1/2(A + B) cos 1/2(A + B)
cos a sin b = 1/2(sin(a – b) – sin(a – b))                sin A – sin B = 2 cos1/2(A – B) sin1/2 (A – B)
cos a cos b = 1/2(cos(a – b) – cos(a – b))             cos A + cos B = 2 cos 1/2(A + B) cos 1/2(A – B)
sin a sin b = -1/2(cos(a – b) – sin(a – b))              cos A – cos B = -2 sin 1/2(A – B) sin 1/2(A – B)

Kesulitan dalam “menghafal rumus” disebabkan semuanya hendak dihafalkan satu persatu. Untuk memahami hal-hal “serupa tapi tak sama” yang penting adalah mencari bentuk umum dan perbedaannya.

CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI:

1. SOAL-SOAL BERDASAR RELASI/RUMUS DASAR FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh 1:
(Pembuktian dilakukan dengan mengubah bentuk ruas kanan untuk disederhanakan ke bentuk ruas kiri. Pilihan ini menuju ruas kiri ini terutama karena bentuk ruas kiri lebih sederhana).
Buktikanlah bahwa sec4q – sec2q = tan4q + tan2q

Bukti:
Alternatif I Dari ruas kiri                                  Alternatif II Dari ruas kanan
Ruas kiri:                                                          Ruas kanan:
sec4q – sec2q                                                     tan4q + tan2q
= sec2q(sec2q – 1)                                             = tan2q(tan2q – 1)
= sec2q x tan2q                                                  = (sec2q – 1) sec2q
= (1 + tan2q) x tan2q                                         = = sec4q – sec2q
= tan2q + tan4q                                                  = ruas kiri (terbukti)
= tan4q – tan2q
= ruas kanan (terbukti)

Daftar pustaka :

https://www.matematrick.com/2016/02/rumus-identitas-trigonometri.html 

 Nama : Evan rafif saputra

Kelas : 10 Ips 1

SUDUT-SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi atau berhubungan ditunjukkan dengan adanya hubungan antara sudut α dengan sudut (90° ± α), (180° ± α), (270° ± α), (360° ± α), atau -α.

Jika sudut α berelasi dengan sudut (90° - α) atau (π2 - α), maka kedua sudut dinamakan saling berpenyiku. Selanjutnya, jika sudut α berelasi dengan sudut (180° - α) atau (π - α), maka kedua sudut tersebut dinamakan saling berpelurus.

Perbandingan Trigonometri di Kuadran I

Oleh karena pada gambar di atas, titik M(x1, y1) adalah bayangan dari titik K(x, y) oleh pencerminkan terhadap garis y = x, maka

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (90° - α) atau (π2−α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

• sin75°=sin(90°−15°)=cos15°
• cosπ6=cos(π2−π3)=sinπ3
• tan25°=tan(90°−65°)=cot65°

Perbandingan Trigonometri di Kuadran II

A. Sudut α berelasi dengan sudut (180° - α) atau (π - α)

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° - α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

• sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=123√
• cos56π=cos(π−π6)=−cosπ6=−123√
• tan135°=tan(180°−45°)=−tan45°=−1

B. Sudut α berelasi dengan (90° + α) atau (π2 + α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika α diputar dengan pusat perputaran adalah O(0,0) sejauh 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan titik A oleh perputaran tersebut adalah A'(-y , x).

Dengan demikian, ∠AOA' = (90° + α) dan OA = OA' = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (90° + α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

• sin 120° = sin(90° + 30°) = cos 30° = 123√
• tan 135° = tan(90° + 45°) = - cot 45° = -1

Perbandingan Trigonometri di Kuadran III

A. Sudut α berelasi dengan (180° + α) atau (π + α)

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° + α) adalah sebagai berikut:

B. Sudut α berelasi dengan sudut (270° - α) atau (32π - α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika titik A dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian diputar dengan pusat perputaran adalah O sejauh 180° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A"(-y, -x), dimana ∠AOA' = (270° - α) dan OA = OA" = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (270° - α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan nilai dari cos 210° dengan menggunakan relasi (180° + α) dan (270° - α).

Penyelesaian:

Berdasarkan uraian di atas, tampak bahwa kedua relasi memberikan hasil yang sama.

Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV

A. Sudut α berelasi dengan (360° - α) atau (2π - α)

Berdasarkan gambar di atas,

• ∠QOP = α
• ∠QOP' = (360° - α)

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (360° - α) atau (2π - α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

B. Sudut α berelasi dengan sudut (270° + α) atau (32π + α)

Jika titik A(x , y) dengan OA = r dan ∠AOB = α diputar dengan pusat O(0,0) sejauh 270° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A'(y , x), dimana∠AOA' = (270° + α) dan OA = OA' = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dan sudut (270° + α) adalah sebagai berikut:

C. Sudut α berelasi dengan sudut (-α)

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas,

• ∠QOP = α → berlawanan arah dengan arah putar jarum jam
• ∠QOP' = -α → searah dengan arah putar jarum jam

Dengan demikian,

Contoh:

Bagaimana dengan nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran?
Nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran dapat kita tentukan dengan menggunakan lingkaran satuan.

Lantas, bagaimana dengan sudut A yang lebih besar dari 360°?

Jika sudut A lebih besar dari 360°, maka sudut A harus diubah terlebih dahulu sehingga berbentuk (θ + k.360°) dengan k = 1, 2, 3, 4, ....

Dengan demikian,

Daftar pustaka

Sumber

https://www.danlajanto.com/2015/10/sudut-sudut-berelasi-trigonometri-sma_58.html