LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Nama : Evan rafif saputra (11)

Kelas : X ips 1

Aturan Sinus

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga. Berdasarkan aturan sinus dalam segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga mempunyai nilai yang sama. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh Soal :

1. Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B, besar sudut C dan panjang sisi c!

Diketahui:

A = 30º

a = 3

b = 4

Ditanya: B, C dan c?

Jawab:

• Menentukan besar sudut B

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

• Menentukan besar sudut C

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:

A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)

Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º

Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º

• Menentukan panjang sisi C

2.  Perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus merupakan aturan yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Sehingga aturan cosinus berlaku untuk setiap segitiga ABC sebagai berikut:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A

b2 = c2 + a2 - 2 ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C

 

Berdasarkan rumus aturan cosinus di atas, maka di dapatkan rumus untuk menghitung besar sudutnya :

 

Contoh Soal :

1. Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

 b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

 b2 = 52 + 62 - 2(5)(6) cos 60º

 b2 = 25 + 36 - 60 (0,5)

 b2 = 61 - 30

 b2 = 31

 b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

2. Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b²  =CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B=CD  ⇔ CD=a. Sin B... (2)
               a

Cos B=BD  ⇔ BD=a. Cos B... (3)
                a

AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²  =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A=  b² + c² - a²
         Cos A=  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B=  a² + c² - b²

                             2.a.c

⇔   Cos C=  a² + b² - c²

                             2.a.b

Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A=CD

                b

⇔ CD=b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △= ½ b.c.Sin A

Luas △= ½ a.c.Sin B

Luas △= ½ a.b..Sin C

Daftar Pustaka :

Judul : Luas segitiga trigonometri, Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Penulis : https://www.edukasi.site/2017/04/aturan-sinus-cosinus-dan-luas-segitiga.html

https://www.ruangguru.com/blog/apa-itu-aturan-sinus-dan-cosinus

Tahun Posting : April 2014 dan 28 Februari 2018