KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

Nama : Evan rafif saputra

Kelas : X ips 1

Koordinat Kartesius

Suatu titik merupakan posisi suatu titik dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y terhadap titik asal O (0,0) sebagai titik pusatnya. Koordinat kartesius ditulis dengan notasi titik P (x,y).

Koordinat Kutub (Polar) 

Suatu titik merupakan besarnya jarak suatu titik tertentu P (x,y) terhadap titik asal O (0,0) dan besarnya sudut yang terbentuk oleh garis OP terhadap sumbu x. Koordinat kutub ditulis dengan notasi P (r,α°).

Untuk mengkonversi koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat kartesius ----> Koordinat Kutub

                     P (x,y)    ---->  P (r, α°)

dimana: r = √x²+y²

                α = tan^-1 (y/x) atau tan α = y/x

Nilai α dapat ditentukan dengan menggunakan tabel Matematika Sin Cos Tan.

ada baiknya Anda mengetahui hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub dengan melihat gambar berikut.

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa koordinat cartesius ditujukan titik P (x,y) dan koordinat kutub P(r,ϑ) dan bisa ditentukan dengan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(x,y), maka koordinat kutub bisa ditentukan dengan rumus:

Sedangkan untuk mengkonversi koordinat kutub ke dalam koordinat cartesius digunakan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(r,ϑ), maka koordinat kutubnya dapat dinyatakan dengan rumus:

Contoh Soal Konversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Jika diketahui titik-titik koordinat sebagai berikut:

• P (4,4)
• P (6,1200)

Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub!

Jawab:

Diketahui koordinat cartesius P (4,4), maka digunakan rumus dan perhitungannya sebagai berikut

Jadi, koordinat kutub dari P (4,4) adalah

Diketahui koordinat kutub P (6,1200), maka perhitungannya adalah

Jadi, koordinat cartesius dari P (6,1200) adalah

Contoh Lain:

Untuk mengkonversi koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat Kutub ----> Koordinat kartesius

               P (r, α°)  ---->  P (x,y)

dimana: x = r . Cos α°

                y = r . Sin α°

Contoh Soal Konversi Koordinat:

1. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
              = -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
2. Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)
              = 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

3. Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 10 dan α = 60°

maka x = r . Cos α = 10 . cos 60°
               = 10 . 1/2= 5
dan    y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
               = 10 . 1/2√3= 5√3

Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).

4. Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 20 dan α = 53°

maka x = r . Cos α = 20 . cos 53°
               = 20 . 0,6= 12
dan    y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
               = 20 . 0,8 = 16

Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16).

5. Tentukan koordinat kutub jika diketahui koordinat kartesius suatu titik A (-2√3, -2) !
Penyelesaian:
Diketahui:  x = -2√3 dan y = -2

maka r = √x²+y² = √(-2√3)²+(-2)²
              = √(4.3)+4 = √12+4 = √16 = 4

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-2/-2√3)
              = tan^-1 (1/√3) = 30°
Jadi koordinat kutubnya (4, 30°).

Daftar Pustaka:

Judul: Koordinat Kutub Dan Kartesius

Penulis: https://siswatekunbelajar.blogspot.com/2019/10/konversi-koordinat-cartesius-dan.html

https://mahirmatematika.com/koordinat-cartesius-dan-koordinat-kutub-serta-cara-konversi-dengan-mudah/

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Nama : Evan rafif saputra (11)

Kelas : X ips 1

Luas Segi n Beraturan

Pada segi n beraturan
Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen
Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).
 
Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya

Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.

Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya

Besar sudut A adalah 

Luas segitiga adalah

LΔ = ½ .R.R sin A

Luas segi n beraturan adalah

Ln = n. LΔ

Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

 

Bagaimana jika diketahui sisinya ?

Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)

Dengan aturan cosinus maka

a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A

a2 = 2R2 — 2R2 cos A

a2 = R2(2 — 2cos A)

Luas segi n :

Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah

Segi-n beraturan yaitu bangun datar atau bentuk dimensi 2 yang terdiri dari garis-garis bersambungan membentuk bangun tertutup dengan  sisi yang sama panjang dan  sudut yang sama besar. 

Jumlah besar sudut dalam segi-n beraturan dapat ditentukan dengan rumus :

Jumlah besar sudut dalam  segi-n : (n-2) x 180° 

contoh :

- Jumlah besar sudut dalam segitiga      =(3-2) x 180°= 180°

-Jumlah besar sudut dalam segiempat  =(4-2) x 180°=360°
-Jumlah besar sudut dalam segilima      =(5-2) x 180°=540°

Jumlah besar setiap sudut segi-n beraturan dapat ditentukan dengan rumus :

Jumlah besar setiap sudut segi-n : (n-2) x 180° 

                                                                          n

Contoh :

- Jumlah besar setiap sudut segitiga      =(3-2) x 180°=60°

                                                                             3

- Jumlah besar setiap sudut  segiempat  = (4-2) x 180°=90°

                                                                                  4

- Jumlah besar setiap sudut segilima      =(5-2) x 180°=108°

                                                                                   5

Segi-n beraturan dalam lingkaran :

Segi-n beraturan dalam lingkaran

Setiap sudut dalam segi-n beraturan akan dilalui oleh lingkaran yang disebut lingkaran luar. setiap sudutnya menyentuh lingkaran luar tersebut. Setiap segi-n beraturan dapat dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen. 

Sudut dalam segitiga dalam pada segi-n beraturan dapat dihitung dengan rumus: 

 Besar sudut dalam segitiga pada segi-n (α)=360/n

besar sudut segitiga

Menghitung luas segitiga dalam segi-n beraturan

Jika diketahui panjang jari-jari lingkaran dalam :

Luas segitiga dalam : ½ x r²x Sin α

Jika diketahui panjang sisi segi-n :

Luas segitiga dalam : s²x Sin²β 

                                       2 x Sin α

Dimana besar sudut β=180 - α

                                                2

Menghitung luas segi-n beraturan

Karena segi-n beraturan terdiridari n buah segitiga yang kongruen, maka luas segi-n adalah n kali luas segitiga dalam tersebut. 

Jika diketahui panjang jari-jari lingkaran dalam :

Luas segi-n : n x ½ x r²x Sin α

Jika diketahui panjang sisi segi-n :

Luas segi-n : n x s²x Sin²β 

                           2 x Sin α

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga diberikan seperti persamaan di bawah.

Jari-Jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

——————-  = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————-  = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————-  = 1/2 r (AB + CB + C)

——————-  = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)

——————-  = r. S

Jadi, L = r . S

r = L/S

jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus

Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:

dengan
L = Luas Segitiga
S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)

Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT
2 Luas ΔABC = AB x CT
CT = 2 Luas ΔABC / AB
CT = 2L/ c……..(persamaan 2)

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD
r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran

Ada dua jenis garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam pada dua buah lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran pada dua jenis tersebut dapat dihitung dengan rumus pythagoras. Di mana diketahui pada rumus pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga siku-siku terdapat dua buah sisi tegak dan satu buah sisi miring. Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan salah satu sisi tegak pada segitiga siku-siku. Sedangkan panjang jumlah/selisih jari-jari menjadi sisi tegak yang satunya. Sisi miring segitiga merupakan panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran. Tiga buah ruas garis yang merupakan panjang garis singgung, jarak dua pusat dua lingkaran, dan jumlah/selisih segitiga membentuk sebuah segitiga. Antara garis singgung persekutuan dua lingkaran dan garis jumlah/selisih jari-jari lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku. Sehingga terbentuklah sebuah segitiga siku-siku yang hubungan ketiga sisinya sesuai dengan rumus pythagoras.

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB

Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.

Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r)2.

Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.

Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.

 

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P2 = OP2‒ P’O2. Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P2 = OP2‒ (R + r)2

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Daftar Pustaka :

Judul : Luas Segi-n Beraturan, Jari- jari Lingkaran Luar dan dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

Penulis : https://supermatematika.com/luas-segi-n-beraturan

https://www.edukasi.site/2017/05/menghitung-luas-segi-n-beraturan-dengan.html

https://idschool.net/smp/lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://idschool.net/smp/garis-singgung-lingkaran

LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Nama : Evan rafif saputra (11)

Kelas : X ips 1

Aturan Sinus

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga. Berdasarkan aturan sinus dalam segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga mempunyai nilai yang sama. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh Soal :

1. Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B, besar sudut C dan panjang sisi c!

Diketahui:

A = 30º

a = 3

b = 4

Ditanya: B, C dan c?

Jawab:

• Menentukan besar sudut B

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

• Menentukan besar sudut C

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:

A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)

Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º

Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º

• Menentukan panjang sisi C

2.  Perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus merupakan aturan yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Sehingga aturan cosinus berlaku untuk setiap segitiga ABC sebagai berikut:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A

b2 = c2 + a2 - 2 ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C

 

Berdasarkan rumus aturan cosinus di atas, maka di dapatkan rumus untuk menghitung besar sudutnya :

 

Contoh Soal :

1. Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

 b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

 b2 = 52 + 62 - 2(5)(6) cos 60º

 b2 = 25 + 36 - 60 (0,5)

 b2 = 61 - 30

 b2 = 31

 b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

2. Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b²  =CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B=CD  ⇔ CD=a. Sin B... (2)
               a

Cos B=BD  ⇔ BD=a. Cos B... (3)
                a

AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²  =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A=  b² + c² - a²
         Cos A=  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B=  a² + c² - b²

                             2.a.c

⇔   Cos C=  a² + b² - c²

                             2.a.b

Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A=CD

                b

⇔ CD=b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △= ½ b.c.Sin A

Luas △= ½ a.c.Sin B

Luas △= ½ a.b..Sin C

Daftar Pustaka :

Judul : Luas segitiga trigonometri, Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Penulis : https://www.edukasi.site/2017/04/aturan-sinus-cosinus-dan-luas-segitiga.html

https://www.ruangguru.com/blog/apa-itu-aturan-sinus-dan-cosinus

Tahun Posting : April 2014 dan 28 Februari 2018