INTEGRAL FUNGSI AL-JABAR KELAS 11. MUDAH DIPAHAMI!!

By Evan Rafif Saputra XI IPS 1

Secara umum integral dapat dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu fungsi f(x) dinyatakan oleh :

∫ f(x) dx = F(x) + C

dengan :
f(x) = integran/fungsi yang diintegralkan
F(X) = anti turunan dari f(x)
C = konstanta

Rumus-Rumus Dasar Integral

Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
$$\int adx=ax+C$$ Contoh
1.  ∫ 2 dx = 2x + C
2.  ∫ $\frac{1}{2}$ dx = $\frac{1}{2}$x + C


Untuk f(x) = axⁿ , n ≠ −1 maka :
$$\int a{x}^{n}dx=\frac{a}{n+1}{x}^{n+1}+C$$ Contoh
1.  ∫ 2x⁴ dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{2}{4+1}$x⁴⁺¹ + C
     ⇒ $\frac{2}{5}$x⁵ + C

2.   ∫ x^-6 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{1}{-6+1}$

x^-6+1 + C
     ⇒ $-\frac{1}{5}$

x^-5 + C


Untuk f(x) = (ax + b)ⁿ , n ≠ −1 maka :

$$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{1}{a(n+1)}{x}^{n+1}+C$$

 Contoh

1.  ∫ (2x − 1) ⁴ dx = ...

     Jawab :

     ⇒ $\frac{1}{2(4+1)}$(2x − 1)⁴⁺¹ + C
     ⇒ $\frac{1}{10}$(2x − 1)⁵ + C


2.  ∫ (x + 1)^-7 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{1}{1(-7+1)}$(x + 1)^-7+1 + C
     ⇒ $-\frac{1}{6}$(x + 1)^-6 + C


Untuk f(x) = $\frac{1}{x}$, maka :
$$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$

Untuk menentukan integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah terlebih dahulu integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

1. $x^m.x^n=x^{m+n}$

$\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$

$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$

$\sqrt[n]{n{x}^m}=x^{\frac{m}{n}}$

6. 
   

Contoh
1.  $\int \sqrt{x}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x^{\frac{1}{2}}dx$
     $=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C$
     $=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$
     $=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

2.  $\int \frac{1}{x^2}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x^{-2}dx$
     $=\frac{1}{-2+1}{x}^{-2+1}+C$
     $=-x^{-1}+C$
     $=-\frac{1}{x}+C$

3.  $\int x\sqrt[3]{3x^2}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x.x^{\frac{2}{3}}dx$
     $\Rightarrow \int x^{\frac{5}{3}}dx$
     $=\frac{1}{\frac{5}{3}+1}{x}^{\frac{5}{3}+1}+C$
     $=\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}}+C$
     $=\frac{3}{8}\sqrt[3]{3x^8}+C$ atau
     $=\frac{3}{8}{x}^2\sqrt[3]{3x^2}+C$

Sifat-Sifat Integral

1.  ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx   (k = konstan)

     Contoh
     ∫ 3x⁴ dx = 3 ∫ x⁴ dx
     ∫ 3x⁴ dx = 3 . $\frac{1}{5}{x}^5+C$
     ∫ 3x⁴ dx =  $\frac{3}{5}{x}^5+C$

2.  ∫{f(x) ± g(x)} dx =  ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

     Contoh

     ∫ (4x² + 3x − 2) dx = ...

     ⇒  ∫ 4x² dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx

     = $\frac{4}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-2x+C$

Contoh-Contoh Latihan Soal Integral Fungsi Aljabar

Contoh 1
Tentukan integral berikut !

   
a.  ∫ (3x⁷ − π) dx = ...
     Jawab :
     = $\frac{3}{7+1}$x⁷⁺¹ − πx + C
     = $\frac{3}{8}$x⁸ − πx + C

b. ∫ (6x⁵ + 2x³ − x²) dx = ...
     Jawab :
     ${=\frac{6}{5+1}{x}^{5+1}+\frac{2}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{1}{2+1}x}^{2+1}+C$
     ${=x^6+\frac{1}{2}{x}^4-\frac{1}{3}x}^3+C$

c. $\int \frac{6x^5-2x^4+9}{x^4}dx=...$
     Jawab :
     $\Rightarrow \int \left(\frac{6x^5}{x^4}-\frac{2x^4}{x^4}+\frac{9}{x^4}\right)dx$
     $\Rightarrow \int \left(6x-2+9x^{-4}\right)dx$
     $=\frac{6}{1+1}{x}^{1+1}-2x+\frac{9}{-4+1}{x}^{-4+1}+C$
     $=3x^2-2x-3x^{-3}+C$
     $=3x^2-2x-\frac{3}{x^3}+C$

d. $\int \left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)dx=...$
     Jawab :
     $\Rightarrow \int \left(x^{\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}}\right)dx$
     $=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}{x}^{-\frac{1}{2}+1}+C$
     $=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}+C$
     $=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C$

e. $\int \left(x\sqrt{x}-\frac{x}{\sqrt{x}}\right)dx=...$
     Jawab :
     $\Rightarrow \int \left(x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\right)dx$
     $=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$
     $=\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

f.  $\int {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{2}dx=$
     Jawab :
     $\Rightarrow \int \left(x+2+\frac{1}{x}\right)dx$
     $=\frac{1}{1+1}{x}^{1+1}+2x+ln|x|+C$
     $=\frac{1}{2}{x}^2+2x+ln|x|+C$

g.  $\int \frac{1}{\sqrt[3]{3(3x+1{)}^2}}dx$
     Jawab :
     $\Rightarrow \int (3x+1{)}^{-\frac{2}{3}}dx$
     $=\frac{1}{3\left(-\frac{2}{3}+1\right)}(3x+1{)}^{-\frac{2}{3}+1}+C$
     $=(3x+1{)}^{\frac{1}{3}}+C$
     $=\sqrt[3]{33x+1}+C$


Contoh 2
Tentukan f(x) jika diketahui :

a.  f '(x)  = 2x + 2 ; f(0) = −1

     Jawab :
     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (2x + 2) dx
     f(x) = x² + 2x + C

     f(0) = −1
     ⇔  (0)² + 2(0) + C = −1
     ⇔  C = −1

     Jadi, f(x) = x² + 2x − 1

b.  f ''(x) = 12x − 2 ; f(0) = 2 dan f '(1) = 4

     Jawab :
     f '(x) = ∫ f ''(x) dx
     f '(x) =  ∫ (12x − 2) dx
     f '(x) = 6x² − 2x + C

     f '(1) = 4
     ⇔  6(1)² − 2(1) + C = 4
     ⇔  C = 0

     diperoleh : f '(x) = 6x² − 2x

     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (6x² − 2x) dx
     f(x) = 2x³ − x² + C

     f(0) = 2
     ⇔  2(0)³ − (0)² + C = 2
     ⇔  C = 2

     Jadi, f(x) = 2x³ − x² + 2

 

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU

---

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)$

dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f\left(x\right)dx$

.

Secara umum, jika $F\left(x\right)$

menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f\left(x\right)$ turunan dari $F\left(x\right)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f\left(x\right)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
$$\begin{array}{cc}\int f\left(x\right)dx& =F\left(x\right)+c\end{array}$$ dibaca: "integral fungsi $f\left(x\right)$ ke $x$ sama dengan $F\left(x\right)+c$

"

Keterangan tambahan:
$\begin{array}{cc}\int f\left(x\right)& :\text{notasi integral tak tentu}\\ F\left(x\right)+c& :\text{fungsi antiturunan}\\ f\left(x\right)& :\text{fungsi yang diintegralkan (integran)}\\ c& :\text{konstanta}\\ d\left(x\right)& :\text{diferensial (turunan) dari}x\end{array}$

Simbol $\int$ diperkenalkan oleh Leibniz, dan tanda $\int$ adalah $S$

yang memanjang. Simbol ini dipilih katanya karena integral adalah jumlah (sums) dari batas-batas yang dinginkan.

---

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU

---

• $\int dx=x+c$

$\int kdx=kx+c$

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+c,n\ne -1$

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx=\frac{k}{n+1}{x}^{n+1}+c,n\ne -1$

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

$\int a^{x}dx=\left(\frac{1}{lna}\right)a^x+c$

$\int a^{u\left(x\right)}dx=\left(\frac{1}{u^{\prime }\left(x\right)lna}\right)a^{u\left(x\right)}+c$

$\int \frac{1}{x}dx=ln\left|x\right|+c$

$\int \frac{1}{u\left(x\right)}dx=\frac{1}{u^{\prime }\left(x\right)}ln\left|u\left(x\right)\right|+c$

$\int e^{x}dx=e^x+c$

$\int e^{u\left(x\right)}dx=\frac{1}{u^{\prime }\left(x\right)}{e}^{u\left(x\right)}+c$

• 
  

---

 

 

Sumber: 

https://www.defantri.com/2021/11/aturan-dasar-integral-tak-tentu.html

https://www.maretong.com/2019/11/soal-dan-pembahasan-integral-fungsi.html